5. العامل المشترك الأكبر

العنوان: 
5. العامل المشترك الأكبر
الصف و المادة: 
  • الصف التاسع
  • الرياضيات
شرح الدرس: 

وحدة تحليل المقادير الجبرية

أهداف الدرس : 

• أن يجد الطالب العامل المشترك الأكبر لمقادير جبرية.

• أن يحل الطالب مسائل على العامل المشترك الأكبر.

>> مراجعة عن العامل المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر

تعريف :

العامل المشترك الأكبر لعدد من المقادير الجبرية هو ححاصل ضرب العوامل الأوليّة المشتركة لها. ويرمز له بالرمز ع . م . أ

 

لإيجاد العامل المشترك الأكبر لمقادير جبرية اتبع الخطوات التالية :

1 ـ حلل كل مقدار جبري إلى عوامله الأولية.

2 ـ ميّز العوامل المشتركة بين المقادير.

3 ـ اضرب العوامل المشتركة بين المقادير فتحصل على العامل المشترك الأكبر.

مثال :

جد العامل المشترك الأكبر ( ع . م . أ ) للمقادير الجبرية التالية :

1)  س3  - س2 - 2س                

2)  س3 -  س

الحل :

1)  حلل المقدار  س3 -  س2 - 2س                        

س3 -  س2 - 2س  =  س ( س2 - س - 2)  =  س ( س - 2) ( س + 1)

2) حلل المقدار  س3 - س   :  

س3 -  س   =  س (س2 - 1) =   س ( س - 1 ) ( س + 1) 

ضع المقادير فوق بعضها لتميز العوامل المشتركة :

س3 -  س2 - 2س  =   س (س - 2) (س + 1) 

س3 - س            =   س (س - 1) (س + 1)

لاحظ  أن العوامل المشتركة للمقدارين هي : س  ،  ( س + 1)

والآن اضرب العوامل المشتركة لتحصل على العامل المشترك الأكبر :

ع . م . أ =  س ( س + 1) 

 

حلول تدريبات الكتاب 

جد ع . م . أ للمقادير الجبرية فيما يأتي : 

أ) س2 + 2س - 15    ،   س2 - 5س + 6    ،   2س2 - 6 س 

ب) 2ص + 2     ،    ص3  +  1     ،    6 ص2 - 6 

الحل :

فرع (أ)  

1) حلل المقدار : س+ 2س - 15

س+ 2س - 15 = (س + 5) (س - 3)

2) حلل المقدار : س2 - 5س + 6  

س2 - 5س + 6  = (س - 2) (س - 3)

3) حلل المقدار : 2س2 - 6 س 

2 - 6 س  = 2س (س - 3)

4) ضع المقادير فوق بعضها لتميز العوامل المشتركة :

س+ 2س - 15 = (س + 5) (س - 3)

س2 - 5س + 6  = (س - 2)  (س - 3)

2 - 6 س     = 2س  ×  (س - 3)

إذن   ،   ع . م . أ = (س - 3)

 

فرع (ب)

1) حلل المقدار : 2ص + 2  

2ص + 2  =  2  (ص + 1)    

2) حلل المقدار : ص3  +  1  

ص3  +  1  = (ص + 1) (ص2 - ص + 1)

3) حلل المقدار : 6 ص2 - 6 

6 ص2 - 6 = 6 (ص2 - 1) = 6 (ص - 1) (ص + 1)

4) ضع المقادير فوق بعضها لتميز العوامل المشتركة :

2ص + 2  =  2  (ص + 1)    

ص3  +  1  = (ص + 1) (ص2 - ص + 1)

6 ص2 - 6 = 6 (ص2 - 1) = 6 (ص - 1) (ص + 1)

إذن   ،   ع . م  . أ = (ص + 1)

 

حلول تمارين ومسائل الكتاب

السؤال الأول : جد العامل المشترك الأكبر (ع . م . أ) لكل من المقادير الآتية :

أ) 6 س2   ،   15  س3

ب) أ2 - 9   ،   أ2 + 5 أ + 6   ،  أ3  -  27  

جـ) 2 (س + 3)2   ،    2س2 - 18 

د) جـ3 + جـ    ،    جـ4 - 1   ،   5 جـ2 + 5 

هـ) 2 س2 - س - 1   ،   5س2  -  5س    ،   س2 - 3 س + 2

الحل : 

فرع (أ) 

6 س2 = 3 × 2 × س × س 

15 س3 = 5 × 3 × س × س × س

إذن  ،  ع . م . أ = 3 × س × س = 3 س2

 

فرع (ب)

أ2 - 9 = (أ - 3) (أ + 3)

أ2 + 5 أ + 6 = (أ + 3) (أ + 2) 

أ3  -  27  = (أ - 3) (أ2 + 3 أ + 9)

إذن  ،  ع . م . أ = 1

 

فرع (جـ)

2 (س + 3)2 = 2 (س + 3) (س + 3)      

2 - 18 = 2 (س2 - 9) = 2 (س + 3) (س - 3)

إذن  ،  ع . م . أ = 2 (س + 3)

 

فرع (د) 

جـ3 + جـ = جـ (جـ2 + 1)      

جـ4 - 1 = (جـ2 - 1) (جـ2 + 1) = (جـ - 1) ( جـ + 1) (جـ2 + 1)     

5 جـ2 + 5 = 5 (جـ2 + 1) 

إذن  ،   ع . م . أ = (جـ2 + 1)

 

فرع (هـ)

2 س2 - س - 1 = (2س + 1) (س - 1)       

2  -  5س = 5 س (س - 1)      

س2 - 3 س + 2 = (س + 2) (س - 1)

إذن  ،  ع . م . أ = (س - 1)

 

السؤال الثاني : يُنتج مصنعُ من الزيت ، بحيث ينتج (س2 + 2س - 35) لترا من الصنف الممتاز ، ويُنتج (س2 - 49) لترا من الصنف العاديّ. فإذا قررت إدارة المصنع تعبة صنفي الزيت في عبوات متساوية السعة ، فما سعةُ أكبر عبوة يمكن استخدامها بدلالة (س)؟

الحل :

س2 + 2س - 35 = (س + 7) (س - 5)

س2 - 49 = (س + 7) (س - 7)

إذن  ،  ع . م . أ = (س + 7) وهي تمثل سعة أكبر عبوة يُمكن استخدامها.

 

السؤال الثالث : بلغ عدد طلاب الصف التاسع في إحدى المدارس (2ص2 + 9 ص - 5) طالبًا ، وعدد طلاب الصف العاشر (ص3 + 125) طالبا ، قرر معلم التربية الرياضية أن يكوّن أفرقة رياضية يضم كل فريق منها العدد نفسه من اللاعبين.

ما أكبر عدد من الطلاب يمكن أن يكون في الفريق الواحد (بدلالة (ص))؟

الحل :

2 + 9 ص - 5 = (ص + 5) ( 2ص - 1)

ص3 + 125 = (ص + 5) (ص2 - 5 ص + 25)

إذن  ،   ع . م . أ = (ص + 5) وهو يمثل أكبر عدد من الطلاب يمكن أن يكون في القريق الواحد.

_____________

سلسبيل الخطيب ، تحليل المقادير الجبرية ، العامل المشارك الأكبر ، رياضيات الصف التاسع ، موقع الأوائل ، أوائل